Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 + 0 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 + 0 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 + 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 + 0 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 + 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 5 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 - λ & 5 & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 5 & 5 \\ 5 & - 2 - λ & - 2 \\ - 5 & 2 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 \\ - 5 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & - 5 - λ & 5 \\ 5 & 0 & - 2 - λ \\ - 5 & 0 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} - 5 - λ & 5 & 5 \\ 0 & - 2 - λ & - 2 \\ 0 & 2 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 2 - λ & - 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 2 \\ 2 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) ((- 2 - λ) (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(- 2 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $2 λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.3

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (- 4 + λ^{2} + 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Associez les termes opposés dans $- 4 + λ^{2} + 4$ .

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Étape 5.5.4.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2.2

Additionnez $λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(- 5 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $(- 5 - λ) λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Additionnez $(- 5 - λ) λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((- 5 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 5 λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Remettez dans l’ordre $- 5 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2}) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ et $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

Étape 5.6.2

Développez $(- 5 - λ) (- λ^{3} - 5 λ^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 5 (- λ^{3} - 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

Étape 5.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 5 (- λ^{3}) - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3} - 5 λ^{2})$

Étape 5.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 5 (- λ^{3}) - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} - 5 (- 5 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.4

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.1.4.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.4.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.1.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + 1 λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.6

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - λ (- 5 λ^{2})$

Étape 5.6.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ^{2}$

Étape 5.6.3.1.8

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.1.8.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 (λ^{2} λ)$

Étape 5.6.3.1.8.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.1.8.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 (λ^{2} λ^{1})$

Étape 5.6.3.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ^{2 + 1}$

Étape 5.6.3.1.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot - 5 λ^{3}$

Étape 5.6.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$p (λ) = 5 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4} + 5 λ^{3}$

Étape 5.6.3.2

Additionnez $5 λ^{3}$ et $5 λ^{3}$ .

$p (λ) = 10 λ^{3} + 25 λ^{2} + λ^{4}$

Étape 5.6.4

Déplacez $25 λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{3} + λ^{4} + 25 λ^{2}$

Étape 5.6.5

Remettez dans l’ordre $10 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2}$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2} = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{4} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} + 10 λ^{3} + 25 λ^{2} = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $10 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ) + 25 λ^{2} = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $25 λ^{2}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ) + λ^{2} \cdot 25 = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (10 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ) + λ^{2} \cdot 25 = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{2} (λ^{2} + 10 λ) + λ^{2} \cdot 25$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ + 25) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 10 λ + 5^{2}) = 0$

Étape 7.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Étape 7.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = λ$ et $b = 5$ .

$λ^{2} {(λ + 5)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ + 5)}^{2} = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ .

$λ^{2} = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $λ^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \pm 0$

Étape 7.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez ${(λ + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ + 5)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ + 5)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ + 5$ égal à $0$ .

$λ + 5 = 0$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 5$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $λ^{2} {(λ + 5)}^{2} = 0$ vraie.

$λ = 0, - 5$